Propiedades de la desigualdad con valor absoluto (módulo)

Propiedades de la desigualdad con valor absoluto (módulo)

29 marzo, 2018 0 By Ensambledeideas

Para empezar: una definición formal:

El módulo o valor absoluto, notado como \left | a \right |, puede definirse como:

Definición de \left | a \right | cuando \left | a \right | es un número real.

Algunas propiedades

PROP. 1:


\left | a \right |=\left | -a \right |


PROP. 2:

\left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |


PROP. 3:

Si b es número real positivo, entonces la desigualdad:

\left | a \right |\leqslant b

es equivalente a decir que:

-b\leqslant a\leqslant b

Explicación:

Como sabemos, \left | a \right | mide la distancia de a al 0.

Que a sea menor o igual que b significa que la distancia de a al 0 no debe ser mayor que b. Sería lo mismo que decir que a no se puede pasar de b a la derecha ni de -b a la izquierda. Esto, claro está, es lo mismo que decir  -b\leqslant a\leqslant b.


PROP. 4:

\left | a \right |=\sqrt{a^2}


PROP. 5:

\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |

Demostración:

Supongamos que en vez de ser lo que afirmamos (\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |), esto no se cumple y sucede que: \left | a+b \right | > \left | a \right |+\left | b \right |. Como ambos miembros son mayores que cero, es decir, son positivos, podemos elevar al cuadrado a cada miembro de la desigualdad, pues la misma se mantiene:

\left | a+b \right |^2 > (\left | a \right |+\left | b \right |)^2

O sea:

\left | a+b \right |^2 > \left | a \right |^{2}+2\left | a \right |\left | b \right |+\left | b \right |^{2}

Como sabemos, por propiedad 2, que: \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |, entonces:

\left | a+b \right |^2 > \left | a \right |^{2}+2\left | a\cdot b \right |+\left | b \right |^{2}

Utilizando la propiedad 4, que nos decía que: \left | a \right |=\sqrt{a^2}, podemos reescribir lo anterior como:

(\sqrt{(a+b)^{2}})^{2} > (\sqrt{a^{2}})^{2}+2\left | ab \right |+b^{2}

de donde:

(a+b)^{2}   >   a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}

O sea:

a^{2}+2ab+b^{2}  >  a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}

Simplificando a^{2}, b^{2} y, luego, simplificando el 2, tenemos que:

ab    >    \left | a b \right |

lo cual contradice la propiedad 2, según la cual \left | a\cdot b \right |=\left | a \right | \left | b \right |.
Q.E.D.

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