Propiedades de la desigualdad con valor absoluto (módulo)

Propiedades de la desigualdad con valor absoluto (módulo)

29 marzo, 2018 0 By Ensambledeideas

Para empezar: una definición formal:

El módulo o valor absoluto puede definirse como:

Algunas propiedades

PROP. 1:


$$\left | a \right |=\left | -a \right |$$


PROP. 2:

$$\left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |$$


PROP. 3:

Si $$b$$ es número real positivo, entonces la desigualdad:

$$\left | a \right |\leqslant b$$

es equivalente a decir que:

$$-b\leqslant a\leqslant b $$

Explicación:

Como sabemos, $$\left | a \right |$$ mide la distancia de $$a$$ al 0.

Que $$a$$ sea menor o igual que $$b$$ significa que la distancia de $$a$$ al 0 no debe ser mayor que $$b$$. Sería lo mismo que decir que $$a$$ no se puede pasar de $$b$$ a la derecha ni de $$-b$$ a la izquierda. Esto, claro está, es lo mismo que decir  $$-b\leqslant a\leqslant b$$.


PROP. 4:

$$\left | a \right |=\sqrt{a^2}$$


PROP. 5:

$$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$$

Demostración:

Supongamos que en vez de ser lo que afirmamos ($$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$$), esto no se cumple y sucede que: $$\left | a+b \right | $$ > $$ \left | a \right |+\left | b \right |$$. Como ambos miembros son mayores que cero, es decir, son positivos, podemos elevar al cuadrado a cada miembro de la desigualdad, pues la misma se mantiene:

$$\left | a+b \right |^2 $$ > $$(\left | a \right |+\left | b \right |)^2$$

O sea:

$$\left | a+b \right |^2 $$ > $$\left | a \right |^{2}+2\left | a \right |\left | b \right |+\left | b \right |^{2}$$

Como sabemos, por propiedad 2, que: $$\left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |$$, entonces:

$$\left | a+b \right |^2 $$ > $$\left | a \right |^{2}+2\left | a\cdot b \right |+\left | b \right |^{2}$$

Utilizando la propiedad 4, que nos decía que: $$\left | a \right |=\sqrt{a^2}$$, podemos reescribir lo anterior como:

$$ (\sqrt{(a+b)^{2}})^{2} $$ > $$(\sqrt{a^{2}})^{2}+2\left | ab \right |+b^{2}$$

de donde:

$$(a+b)^{2}$$   >   $$a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}$$

O sea:

$$ a^{2}+2ab+b^{2}$$  >  $$a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}$$

Simplificando $$a^{2}$$, $$b^{2}$$ y, luego, simplificando el $$2$$, tenemos que:

$$ab$$    >    $$\left | a b \right |$$

lo cual contradice la propiedad 2, según la cual $$\left | a\cdot b \right |=\left | a \right | \left | b \right |$$.
Q.E.D.

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