¿A que llamamos Supremo e Ínfimo de un conjunto?

¿A que llamamos Supremo e Ínfimo de un conjunto?

24 marzo, 2018 0 By Ensambledeideas

En esta oportunidad, estudiaremos una definición muy importante: ¿A qué llamamos Supremo e Ínfimo de un conjunto? Veamos su definición formal:

Sea $$A\subset R$$, un número real $$c$$ se llama supremo de $$A$$ (y se denota: $$c=sup A$$ ) si tiene las siguientes dos propiedades:

  1. $$c$$ es cota superior de $$A$$.
  2. Si $$d$$ es cota superior de $$A$$, entonces $$c\leqslant d$$

Queda claro que $$c$$ debe ser cota superior del conjunto $$A$$, ¿pero qué significa nuestra propiedad 2.? No es otra cosa que la condición de que $$c$$ sea la menor de las cotas superiores.

Existe una proposición muy útil que caracteriza al supremo:
Sea $$A$$ un conjunto acotado superiormente y no vacío, entonces un número real $$c$$ es el supremo de $$A$$ (es decir, $$c=sup A$$ ) sí y sólo sí cumple las condiciones;

  1. $$c$$ es cota superior de $$A$$.
  2. Si $$\epsilon $$ es un número real arbitrario mayor que 0, entonces existe $$a\in A$$ tal que $$ c-\epsilon $$ < $$a$$.

Por otro lado,
Sea $$A\subset R$$, un número real $$d$$ se llama ínfimo de $$A$$ (y se denota: $$c=inf A$$ ) si tiene las siguientes dos propiedades:

  1. $$d$$ es cota inferior de $$A$$.
  2. Si $$k$$ es cota inferior de $$A$$, entonces $$k\leqslant d$$ (es decir, $$d$$ es la mayor cota inferior).

Como siempre, obtenemos una proposición:
Sea $$A\subset R$$ acotado inferiormente y no vacío, entonces existe $$d=infA$$.
 

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