¿Qué es el módulo o valor absoluto de un número real?

¿Qué es el módulo o valor absoluto de un número real?

27 marzo, 2018 0 By Ensambledeideas

Definición

Dado un número real $$a$$, se denomina módulovalor absoluto de $$a$$ al mismo $$a$$ si $$a$$ es positivo o cero, y $$-a$$ si $$a$$ es negativo; es decir:

¿Qué significa todo eso? ¡Tranquilo! En simples palabras, es la distancia de un cierto valor $$a$$ al 0. Por ejemplo:

|3| = 3

|-3|=3

¿Por qué? Veamos esto en una recta numérica:

El módulo o valor absoluto es la distancia del valor al cero. Por ello, la distancia al cero de -3 vale 3, al igual la distancia de 3 al 0.

Definición:

Otra forma de definir al módulo es en términos de raíces cuadradas, según:

$$\left | a \right |=\sqrt{a^2}$$

Demostración:

En primer lugar, observamos que $$a^2$$ es siempre mayor o igual que cero y que, por ende, tiene una única raíz cuadrada no negativa. Dicho en otras palabras, hay un único núemero no negativo que elevado al cuadrado da $$a^2$$.

Si $$a\geq 0$$, entonces $$a$$ no es negativo y elevado al cuadrado da, evidentemente, $$a^2$$; luego, si $$a\geq 0$$, $$\sqrt{a^2}=a$$.

Si $$a$$<0, entonces será $$-a$$>0, o sea $$-a$$ positivo. En particular, $$-a$$ es no negativo y, además $$(-a)^{2}=(-a).(-a)=a.a=a^{2}$$; luego, si $$a$$<0, $$\sqrt{a^2}=-a$$. En resumen, resulta que:

O sea:

 $$\left | a \right |=\sqrt{a^2}$$

Q.E.D.

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