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Valor absoluto (módulo): Propiedades de la desigualdad.

matematicas

La última actualización de esta entrada fue hecha el 14 junio, 2024 por Hernán R. Gómez

Para empezar: una definición forma de valor absoluto o módulo.

El módulo o valor absoluto, notado como  \left | a \right |, puede definirse como:

valor absoluto o modulo
Definición de  \left | a \right | cuando  \left | a \right | es un número real.

Algunas propiedades

PROP. 1:


 \left | a \right |=\left | -a \right |


PROP. 2:

 \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |


PROP. 3:

Si b es número real positivo, entonces la desigualdad:

 \left | a \right |\leqslant b

es equivalente a decir que:

 -b\leqslant a\leqslant b

Explicación:

Como sabemos,  \left | a \right | mide la distancia de  a al 0.

Que a sea menor o igual que b significa que la distancia de a al 0 no debe ser mayor que b. Sería lo mismo que decir que a no se puede pasar de b a la derecha ni de -b a la izquierda. Esto, claro está, es lo mismo que decir   -b\leqslant a\leqslant b.


PROP. 4:

 \left | a \right |=\sqrt{a^2}


PROP. 5:

 \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |

Demostración:

Supongamos que en vez de ser lo que afirmamos ( \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |), esto no se cumple y sucede que:  \left | a+b \right | >  \left | a \right |+\left | b \right |. Como ambos miembros son mayores que cero, es decir, son positivos, podemos elevar al cuadrado a cada miembro de la desigualdad, pues la misma se mantiene:

 \left | a+b \right |^2 >  (\left | a \right |+\left | b \right |)^2

O sea:

 \left | a+b \right |^2 >  \left | a \right |^{2}+2\left | a \right |\left | b \right |+\left | b \right |^{2}

Como sabemos, por propiedad 2, que:  \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |, entonces:

 \left | a+b \right |^2 >  \left | a \right |^{2}+2\left | a\cdot b \right |+\left | b \right |^{2}

Utilizando la propiedad 4, que nos decía que:  \left | a \right |=\sqrt{a^2}, podemos reescribir lo anterior como:

 (\sqrt{(a+b)^{2}})^{2} >  (\sqrt{a^{2}})^{2}+2\left | ab \right |+b^{2}

de donde:

 (a+b)^{2}   >    a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}

O sea:

 a^{2}+2ab+b^{2}  >   a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}

Simplificando  a^{2}, b^{2} y, luego, simplificando el 2, tenemos que:

 ab    >     \left | a b \right |

lo cual contradice la propiedad 2, según la cual  \left | a\cdot b \right |=\left | a \right | \left | b \right |.
Q.E.D.

Valor absoluto y las propiedades de la desigualdad – Ensamble de Ideas – Copyright MMXXII

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