Valor Absoluto (módulo): Propiedades De La Desigualdad. - Blog Educativo

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Valor absoluto (módulo): Propiedades de la desigualdad.

matematicas

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La última actualización de esta entrada fue hecha el 19 junio, 2024 por Hernán R. Gómez

Para empezar: una definición forma de valor absoluto o módulo.

El módulo o valor absoluto, notado como $\left | a \right |$ , puede definirse como:

valor absoluto o modulo — Definición de $\left | a \right |$ cuando $\left | a \right |$ es un número real.

Algunas propiedades

PROP. 1:

$\left | a \right |=\left | -a \right |$

PROP. 2:

$\left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |$

PROP. 3:

Si b es número real positivo, entonces la desigualdad:

$\left | a \right |\leqslant b$

es equivalente a decir que:

$-b\leqslant a\leqslant b$

Explicación:

Como sabemos, $\left | a \right |$ mide la distancia de $a$ al 0.

Que a sea menor o igual que b significa que la distancia de a al 0 no debe ser mayor que b. Sería lo mismo que decir que a no se puede pasar de b a la derecha ni de -b a la izquierda. Esto, claro está, es lo mismo que decir $-b\leqslant a\leqslant b$ .

PROP. 4:

$\left | a \right |=\sqrt{a^2}$

PROP. 5:

$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$

Demostración:

Supongamos que en vez de ser lo que afirmamos ( $\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$ ), esto no se cumple y sucede que: $\left | a+b \right |$ > $\left | a \right |+\left | b \right |$ . Como ambos miembros son mayores que cero, es decir, son positivos, podemos elevar al cuadrado a cada miembro de la desigualdad, pues la misma se mantiene:

$\left | a+b \right |^2$ > $(\left | a \right |+\left | b \right |)^2$

O sea:

$\left | a+b \right |^2$ > $\left | a \right |^{2}+2\left | a \right |\left | b \right |+\left | b \right |^{2}$

Como sabemos, por propiedad 2, que: $\left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |$ , entonces:

$\left | a+b \right |^2$ > $\left | a \right |^{2}+2\left | a\cdot b \right |+\left | b \right |^{2}$

Utilizando la propiedad 4, que nos decía que: $\left | a \right |=\sqrt{a^2}$ , podemos reescribir lo anterior como:

$(\sqrt{(a+b)^{2}})^{2}$ > $(\sqrt{a^{2}})^{2}+2\left | ab \right |+b^{2}$

de donde:

$(a+b)^{2}$ > $a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}$

O sea:

$a^{2}+2ab+b^{2}$ > $a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}$

Simplificando $a^{2}$ , $b^{2}$ y, luego, simplificando el 2, tenemos que:

$ab$ > $\left | a b \right |$

lo cual contradice la propiedad 2, según la cual $\left | a\cdot b \right |=\left | a \right | \left | b \right |$ .
Q.E.D.

Valor absoluto y las propiedades de la desigualdad – Ensamble de Ideas – Copyright MMXXII

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