La última actualización de esta entrada fue hecha el 14 septiembre, 2022 por Ensambledeideas

En este artículo de Mecánica de Fluidos, veremos cómo calcular la rapidez de salida de un fluido por un recipiente. Lo interesante de este tema es que podemos, aplicando la misma lógica y razonamiento, casos en que tenemos un contenedor de líquidos con una apertura por debajo del recipiente (como un tanque que tiene un agujero en su parte inferior, tal como se observa en la figura 1) o un recipiente que presenta un agujero en sus paredes (como se observa en la figura 2).

Rapidez de salida de un fluido: desagüe.
Figura 1: desagüe de un fluido.
Rapidez de salida en recipiente con agujero lateral.
Figura 2: Velocidad de salida en un recipiente agujereado.

Separemos nuestro estudio en ambos casos.

Rapidez de salida en un recipiente con agujero (en paredes laterales o inferior)

La figura 1 muestra un recipiente con un área transversal A, lleno de un fluido hasta la altura que llamaremos h. El espacio de arriba del tanque está a presión atmosférica p_{1} y el fluido sale por un tubo de área A_{2}. Intentemos obtener una expresión para la velocidad de salida.

El punto 1 podemos ubicarlo en la superficie del líquido. Allí, la presión será llamada p_{1} y la velocidad del fluido será v_{1}. El punto 2 estará ubicado a la salida del tanque. Allí, llamaremos v_{2} a la rapidez de salida y su presión será denominada como p_{2}. Podemos establecer como h=0 a nivel del punto 2, por lo que la altura del punto 1 será igual a h

Debido a que el área 1 es mucho mayor que el área 2, podemos decir que el nivel de fluido en el tanque bajará con mucha lentitud. Podríamos decir que la velocidad en 1 es cero (prácticamente, v_{1}=0).

Otra consideración importante será la siguiente: 

La rapidez de salida dependerá de varios factores. Pero… ¿de cuáles? Para ello, planteemos el Principio de Bernoulli.

p_{1}+\delta \cdot g\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{1}^{2}=p_{2}+\delta \cdot g\cdot h_{2}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{2}^{2}

Puedes encontrar más información sobre Teorema de Bernoulli en nuestro post de Ensamble de Ideas.

Vemos que, por supuesto, la velocidad v_{2} dependerá de la gravedad y la densidad del fluido. Lo que no es tan evidente y debemos siempre tener en cuenta es que dicha velocidad dependerá de la diferencia de presiones \Delta p entre el punto superior y el inferior, es decir, depende de \Delta p = p_{2}-p_{1}, y también de la altura h del líquido.

En este punto, contamos con mucha información que nos hará trabajar fácilmente con la Ecuación de Bernoulli. Vayamos paso por paso.

Primero, empecemos desde la Ecuación original:

p_{1}+\delta \cdot g\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{1}^{2}=p_{2}+\delta \cdot g\cdot h_{2}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{2}^{2}

Despejamos el cuadrado de la velocidad del fondo del recipiente:

\frac{p_{1}+\delta \cdot g\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{1}^{2}-p_{2}-\delta \cdot g\cdot h_{2}}{\frac{1}{2}\cdot \delta }=v_{2}^{2}

Sabemos que h_{2}=0 y que v_{1}=0, por lo que:

\frac{p_{1}+\delta \cdot g\cdot h_{1}-p_{2}}{\frac{1}{2}\cdot \delta }=v_{2}^{2}

Si consideramos que tanto arriba como abajo el recipiente se encuentra a presión atmosférica (es decir, p_{1}=p_{2}=p_{atm}, por lo que \Delta p =0), podemos anular las presiones:

\frac{\delta \cdot g\cdot h_{1}}{\frac{1}{2}\cdot \delta }=v_{2}^{2}

Reordenando (recordemos que \frac{1}{\frac{1}{2}}=2) y eliminando \delta porque aparece tanto en el numerador como en el denominador:

2\cdot g\cdot h_{1}=v_{2}^{2}

Obtenemos la raíz cuadrada para despejar la rapidez de salida:

v_{2}=\sqrt{2\cdot g\cdot h_{1}}

¡Y listo! Hemos obtenido la expresión de la velocidad de salida de un fluido! ¿No notas algo similar? En una caída libre, la velocidad con la que un móvil toca el suelo presenta la misma expresión, siendo h la altura desde que se tira dicho móvil. Este resultado es conocido como Teorema de Torricelli y es válido no sólo para un tanque que tiene una abertura por abajo, sino también por los costados del recipiente.

Tasa de flujo de volumen en un recipiente con desagüe

Calcular la tasa de flujo de volumen en un recipiente que presenta un desagüe, ya sea inferior o lateral, es muy sencillo, aplicando el Teorema de Torricelli y el Principio de Continuidad.

Sabemos que el caudal debe mantenerse constante en el tiempo, es decir que el caudal en el punto superior debe ser igual al caudal en el punto inferior. Por lo tanto:

C_{1}=C_{2}

Como C=A\cdot v, podemos establecer la relación:

C= A_{2} \cdot v_{2}

Dado que v_{2}=\sqrt{2\cdot g\cdot h_{1}} (por lo que dedujimos antes), entonces:

C= A_{2} \cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h_{1}}

¡Esperamos que te sea de utilidad!

NTICx en la escuela

Las asombrosas aplicaciones online (applets) de PhET Colorado cuentan con simulaciones diversas sobre fluidos. Te recomendamos visitar https://phet.colorado.edu/es/contributions/view/5187 para tratar los temas del Teorema de Torricelli, el Principio de Bernoulli y mucho más.

 

 

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