Las 7 Propiedades De Las Raíces O Propiedades De La Radicacion

Las 7 Propiedades de las raíces o propiedades de la radicacion

La última actualización de esta entrada fue hecha el 5 junio, 2024 por Hernán R. Gómez

Propiedades de las raíces o propiedades de la radicación

¿Qué es la radicación o raíz?

Como la resta es la operación inversa de la suma y la división es la inversa de la multiplicación, la radicación es la operación inversa de la potenciación.

Para calcular una raíz primero conozcamos sus partes:

Partes de una raíz – Propiedades de las raíces

Por lo tanto, el resultado de una raíz (b) es un número, tal que elevado al índice (n) me de como resultado el radicando (a). Por ejemplo:

$\sqrt[3]{8}= 2$
Porque
$2^3 = 8$

Propiedades de las raìces — Propiedades de las raíces o la radicación

Veamos otro ejemplo:
$\sqrt[3]{125}=$

Entonces habrá que buscar un número que elevado a la 3 me de como resultado 125.

$?^3 = 125$

Y ese número es 5, porque $5^3 =125$ .
Entonces: $\sqrt[3]{125}= 5$

Una simple aclaración: si una raíz tiene como índice 2 se leerá como “raíz cuadrada de…” y si el índice es 3 se leerá como “raíz cúbica de…”

Al igual que la potencia, existen propiedades de las raíces que son necesarias tener en cuenta a la hora de operar con ellas. A continuación las explicaremos a todas paso a paso.

Propiedades de la radicación

Recuerden revisar los nombres de cada parte de la operación de radicación para entender mejor cada propiedad, de todos modos con los ejemplos numéricos que daremos debajo de cada uno seguro también se entenderá.

1 La radicación de un número positivo en el radicando y que su índice sea par tiene dos resultados, uno positivo y el otro negativo.

Por ejemplo:
$\sqrt[2]{16}= + 4$

$\sqrt[2]{16}= - 4$

Luego:

$\sqrt[2]{16}= |4|$ (es decir que se lo puedo expresar como valor absoluto).

Porque:
$4^2 = 16$
y $(-4)^2 = 16$

Aclaración: Si bien, como vimos ambas, respuestas son matemáticamente válidas, con fines pedagógicos solamente se utilizaran los resultados positivos.

2 La radicación de un número negativo en el radicando y que su índice es par no tiene solución matemática.

$\sqrt[2]{-16}= \nexists$

Porque:
$4^2 = 16$
y $(-4)^2 = 16$

En ambas situaciones nunca el resultado va a dar negativo.

3 Si tengo una raíz con índice impar, el resultado tendra el mismo signo que el radicando

$\sqrt [3] {64} = +4$
Porque $+4^3 = 64$

$\sqrt [3] {-64} = -4$
Porque $(-4)^3 = -64$

¿Vamos bien? Continuemos con las otras propiedades.

4 La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división (siempre y cuando tengan el mismo índice)

Cómo distribuir las raíces con respecto a la multiplicación.

Si tengo una multiplicación dentro de una raíz las puedo separar en dos raíces por separado y no cambiará el resultado final.

$\sqrt [2] {4 \cdot 9}=$
$\sqrt [2] {36} = 6$

$\sqrt [2] {4 \cdot 9}=$
$\sqrt [2] {4} \cdot \sqrt {9} =$
$2 \cdot 3 = 6$

6 = 6 como vemos por ambos caminos se llegó al mismo resultado, demostrando que es distributiva con respecto a la multiplicación.

Lo mismo puede servir si tenemos esta opción que a simple vista parecería que no se podría resolver con números enteros, pero observemos

$\sqrt [3] {9} \cdot \sqrt [3] {3} =$

pero aplicando esta propiedad la podemos “juntar” en una misma raíz (ya que tienen el mismo índice y ambas están multiplicando).

$\sqrt [3] {3 \cdot 9} =$
$\sqrt [3] {27} = 3$

Y pudimos así resolver la situación que a priori parecía que no era posible dentro de los enteros.

Cómo distribuir las raíces con respecto a la división.

Si tengo una división dentro de una raíz las puedo separar en dos raíces por separado y no cambiará el resultado final.

$\sqrt {64:4}$
$\sqrt {16} = 4$

$\sqrt {64:4}$
$\sqrt {64} : \sqrt {4} =$
$8 : 2 = 4$

4 = 4 como vemos por ambos caminos se llegó al mismo resultado, demostrando que es distributiva con respecto a la multiplicación.

Como en el caso de la caso de la multiplicación nos es útil para situaciones que a priori parecería que no se pueden resolver con números enteros.

$\sqrt {18} : \sqrt {2} =$
$\sqrt {18:2} =$
$\sqrt {9} = 3$

Y así pudimos resolver una situación que a priori parecía que no era posible dentro de los enteros.

¡ ATENCIÓN !

Las raíces no son distributivas ni con la suma ni con la resta.

Veamos el poque.

$\sqrt {9+16} = \sqrt {25} = 5$
$\sqrt {9+16} = \sqrt {9} + \sqrt {16} = 3+4 = 7$
$5 \neq 7$

$\sqrt {100-64} = \sqrt {36} = 6$
$\sqrt {100-64} = \sqrt {100} - \sqrt {64} = 10 -6 = 4$
$6 \neq 4$

5 Raíz de otra raíz (raíz de raíz)

Si tenemos una raíz dentro de otra raíz el resultado será una nueva raíz donde el índice será la multiplicación de los índices.

Propiedades de las raices – Raíz de raíz

$\sqrt [3]{\sqrt [2]{64}} =$
$\sqrt [2 \cdot 3)] {64} =$
$\sqrt [6] {64} = 2$

6 Raíz elevada a un exponente

Si tenemos una raíz elevada a un a potencia el resultado será una nueva raíz donde ese exponente estará elevando al radicando.

$(\sqrt [6] {64})^2 =$ $2^2 = 4$
$\sqrt [6] {64^2} =$ $\sqrt [6] {4096} = 4$

También se se pueden anular o simplificar los exponentes cancelándolos con los índices de las raíces, para hacer esto habrá que dividir el índice con el exponente, y ese resultado es el nuevo índice de la raíz.

$(\sqrt [8] {256}) ^4 =$
$2^4 =16$

$(\sqrt [8] {256}) ^4 =$
$(\sqrt [(8:4)] {256} =$
$(\sqrt [2] {256} = 16$

$16 = 16$

Otro ejemplo:

$\sqrt [4] {9^2} =$
$\sqrt [4:2] {9} =$
$\sqrt [2] {9} = 3$

7 Anulación de un raíz

Si tenemos un radicando que esta elevado a un número, y ese, es igual al índice se pueden anular y la raíz desparece.

$\sqrt [5] {8^5} = 8$

El 5 del índice se anula con el 5 del exponente del radicando (desaparecen) y se elimina la raíz. Entonces queda como resultado 8.

Otro ejemplo: Existe también la posibilidad de que a un radicando lo podamos expresar como potencia (igualando el índice) y así después anularlos.

$\sqrt [4] {16} = \sqrt [4] {2^4} = 2$

En este caso. a 16 lo expresamos como $2^4$ y al ser el índice y la potencia del radicando iguales los pude anular y sacar la raíz.

Vídeo tutorial

Les compartimos un vídeo de nuestro canal de Youtube donde explicamos también este tema.

Enlace Relacionado

Las propiedades de la potencia

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10 respuestas a “Las 7 Propiedades de las raíces o propiedades de la radicacion”

mapo23

2 agosto, 2021

wtf

Responder
1. Myjesus.123
  
  16 noviembre, 2022
  
  wen
  
  Responder
Susana

25 agosto, 2021

Una pregunta. Sí?
Resolver 7. \/ 32 (siete por raiz cuadrada de treinta y dos.

Responder
1. Julián Spadaro
  
  25 agosto, 2021
  
  Hola susana, dentro del campo de los números enteros (los que no tiene decimales) no tendría solución.
  
  porque no existe ningún numero que multiplicado dos veces por si mismo de por resultado 32 (que es el concepto de las raíces). porque 5×5=25 me quedo corto y 6×6=36 me paso. Por lo tanto no podrías resolver dentro de los enteros 7 x raiz cuadrada de 32.
  
  Si se podría resolver por medio de los números irracionales, pero dudo que sea el caso de lo que me planteas y también me estaría faltando información para resolverlo.
  
  Espero haber sido claro en la explicación. Puedes preguntarnos de nuevo, no hay problema
  
  Saludos
  Julián
  
  Tampoco podría ser si fuera raiz 7 de 32 por que 2x2x2x2x2x2x2= me 128
  
  Responder
Filología UNLP

11 octubre, 2022

very good bro

Responder
1. Julián Spadaro
  
  12 octubre, 2022
  
  Muchas gracias 🙂
  
  Responder
Andrés Bustillos Galán

15 noviembre, 2022

Hay una errata : las raíces de índice impar SIEMPRE existen.
Además, por ejemplo, la raíz cuadrada de x elevado al cuadrado NO es x, sino Valor absoluto de x

Responder
1. Julián Spadaro
  
  1 diciembre, 2022
  
  Gracias por las aclaraciones. Saludos cordiales. Ensamble de Ideas
  
  Responder
  1. Hefestion
    
    29 noviembre, 2023
    
    Buenos días,
    
    Dice que:
    
    “Por ejemplo:
    \sqrt[2]{16}= + 4
    
    \sqrt[2]{16}= – 4
    Luego:
    
    \sqrt[2]{16}= |4|”
    
    Sabiendo que, efectivamente, una de las propiedades del valor absoluto es que \sqrt[2]{x^2} = |x| \forall x \in R y que, según usted, \sqrt[2]{16} puede ser – 4, está diciendo que el valor absoluto de un número real puede tener un valor negativo y eso no es posible. El error está en decir que la raíz cuadrada de un número real positivo puede tener dos soluciones reales, una positiva y otra negativa, cuando en realidad solo tiene una y es positiva siempre. \sqrt[2]{16}= 4 \sqrt[2]{64}= 8 Esto se puede ver en la gráfica de la función f(x)=\sqrt[2]{x} cuyo rango es (0, +\infty]
    
    Además, otra prueba es que si \sqrt[2]{16}= \pm4 entonces tendríamos que:
    
    \sqrt[2]{16} + \sqrt[2]{16} = 4 + 4 = 8
    \sqrt[2]{16} + \sqrt[2]{16} = (-4) + (-4) = -8
    \sqrt[2]{16} + \sqrt[2]{16} = (-4) + 4 = 0
    
    lo cual es absurdo.
    
    Saludos.
    
    Responder
    1. Hernán R. Gómez
      
      18 diciembre, 2023
      
      ¡Buenos días!
      
      Agradezco mucho tu comentario y el tiempo que has dedicado a analizar el tema. Valoramos mucho la participación y las contribuciones a la discusión.
      
      Estoy de acuerdo en que la raíz cuadrada principal de un número positivo tiene un único valor no negativo, y admito que hubo una confusión en la explicación que proporcioné. La propiedad del valor absoluto que mencionas es correcta, sin embargo, en el caso específico de
      16, su valor principal es 4 y no +4 o −4, como se mencionó.
      
      Es importante destacar que aunque el valor absoluto de un número puede ser representado como un valor no negativo, la raíz cuadrada de un número positivo tiene un único valor real no negativo.
      
      Gracias de nuevo por señalar esos puntos, ¡aprecio mucho la oportunidad de aclarar este concepto!
      
      ¡Saludos cordiales!
      
      Responder